&esp;&esp;程诺打了响指，笑呵呵的开说，“其实这个序列你们应该都听说过，数学家哥德赫在给数学家欧拉的一封信中，提到了一个完全由费数：fn = 22n 1 (n = 0， 1，)组成的序列这个概念，通过fn - 2 = f0f1···fn-1这个公式，可以证明费数之间是彼此互素的。”

&esp;&esp;两人也很好奇程诺究竟会说些什么，竖起耳朵倾听。

&esp;&esp;但时间迫，众人的视线只是在剑桥大学的队伍上停留了几秒时间，便匆匆接着自己的埋苦算。

&esp;&esp;“那什么样的序列既是无穷序列又是互素序列？”一人忍不住问。

&esp;&esp;“法国数学家阿达和比利时数学家瓦莱-普森于 1896 年证明的素数定理中指，n 以的素数个数π(n)的渐近分布为π(n)~ n/ln(n)，n/ln(n)随 n 趋于无穷……”

&esp;&esp;“以上，利用费数组成的序列，就可以轻松得到素数无限的一个证明法。”程诺语气停顿了一，开说，“面我说第二个。”

然没问题。”

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&esp;&esp;“你们想一，假如能找到一个无穷序列，其中任意两项都是互素的，即所谓互素序列，那就等于证明了素数有无穷多个——因为每一项的素因都彼此不同，项数无穷，素因的个数、从而素数的个数，自然也就无穷。”

&esp;&esp;“然后，对两个不同的素数 p1 和 p2，φ(p1p2)=(p1 - 1)(p2 - 1)，这是因为……”

&esp;&esp;“对任一正整数 n，欧拉φ函数的取值φ(n)定义为：φ(n):=不大于 n 且与 n 互素的正整数的个数。对任一素数 p，φ(p)= p - 1，这个是因为 1，， p - 1 这 p - 1 个不大于 p 的正整数显然都跟 p 互素。”

&esp;&esp;他这么大声，自然引起了旁边许多学校的注意。

&esp;&esp;但程诺让两人的惊讶还在继续。

&esp;&esp;“等一！”一位队友大声叫停了程诺，急忙从背后的书包里拿一摞草稿纸，将程诺提的第一个证明法记以后，才不好意思的对程诺说，“你继续吧。”

&esp;&esp;“呃，那我接着说。”程诺接着说，“我第二个想的办法是利用素数的分布行求证。”

&esp;&esp;程诺竖起了一手指，“第一个，利用互素序列行证明。”

&esp;&esp;本以为程诺能提一个新方向的证明方法，已经是实属难得，可未曾料想，程诺一气直接提了两个。

&esp;&esp;程诺瞥见记录的那位队友已经记完，清了清嗓，开，“再说第三个。”

&esp;&esp;“当然还有。”程诺笑呵呵的说，望着着手腕的队友，“这才哪到哪！”

&esp;&esp;“第三，利用代数数论的知识证明。利用代数数论手段证明素数有无穷多个的发之一是利用所谓的欧拉φ函数。”

&esp;&esp;“……由上，可得知对任意正整数 n ≥ 2，至少存在一个素数 p 使得 n ≈ap;ap;lt; p ≈ap;ap;lt; 2n。”程诺边说，一旁那位队友便在纸上唰唰的记着，双中满是掩饰不住的兴奋之。

&esp;&esp;“还有？”队友诧异声。

&esp;&esp;于是当众人看到剑桥大学这边两位天资横溢的博士生，此时却宛若小学生一般，仰着期待着那边程诺讲话，皆是一脸的疑惑之。